با افتتاح حساب در کارگزار های منتخب از خدمات ما به رایگان استفاده نمائید
بخش اول معرفی
بخش دوم موج های Motive ( اصلی )
بخش سوم سابقه تاریخی و ریاضی امواج
بخش چهارم کاربردهای الیوت
بخش پنجم امواج بلند مدت و ترکیب به روز شده
بخش ششم سهام و کالاها
  • ۱-۶ سهام و کالاها
  • ۲-۶ کالاها
  • ۳-۶ طلا
بخش هفتم رویکردهای دیگر به بازار سهام و ارتباط آنها با اصول امواج
بخش هشتم الیوت می گوید
بخش نهم ضمیمه
بخش دهم خلاصه

۲-۳ توالی فیبوناچی

در Liber Abaci ، مسئله ای بیان شد که مربوط به توالی اعداد, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴۱ ۱ و به همین صورت تا بینهایت بود ، که امروزه به نام توالی فیبوناچی شناخته می شود .

مسئله این است : 

در منطقه محصور دو خرگوش نر و ماده قرار دارندفرض می کنیم که این دو خرگوش در هر ماه یک جفت خرگوش نر و ماده تولید می کنند وهر کدام از زوج های جدید نیز هر ماه به غیر از ماه اول زندگی، یک جفت خرگوش نر وماده به وجود می آورندآیا می توانید بگوئید بعد از یک سال چند خرگوش در این منطقه خواهند بود؟

در پرداختن به مسئله، می بینیم که هر جفت ، از جمله جفت اول ، نیاز به یک ماه زمان برای بلوغ دارند، اما زمانی که به بلوغ می رسند هر ماه یک جفت جدید بدنیا می آورند . تعداد جفتها در ابتدای هر دو ماه اول مشابه است . بنابراین توالی بدین گونه است ۱ و ۲ . این جفت اولیه در نهایت تعدادشان در ماه دوم دوبرابر می شود، بنابراین دو جفت در ابتدای ماه سوم داریم . از این دو جفت، دو جفت اول در ماه بعد جفت سوم را بدنیا می آورند به گونه ای که در ابتدای ماه چهارم توالی بدین صورت می شود  ۱،۱،۲،۳ .  از این سه جفت ،دو جفت قبلی زاد و ولد می کنند اما جفت جدید خیر ، بنابراین تعداد جفت خرگوشها به پنج مورد می رسد . ماه بعد، سه جفت زاد و ولد دارند ، بنابراین توالی بدین صورت می شود ۱،۱،۲،۳،۵،۸ و به همین منوال ادامه می یابد . شکل ۳-۱ نشان دهنده درخت خانواده خرگوش با رشد خانواگی و سرعت نمایی است . توالی برای چند سال ادامه دهید تا به 354,224,848,179,261,915,075 جفت خرگوش برسیم . توالی فیبوناچی بدست آمده از مسئله خرگوش ویژگیهای جالب زیادی دارد و نشان دهنده رابطه تقریبا قابتی در میان اجزا است . 


تصویر ۳-۱

شکل ۳-۱ مجموع دو عدد مجاور در توالی ، عدد بعدی بالاتر را در توالی ایجاد می کند ، یعنی ... ۱+۱ برابر ۲، ۲+۱ برابر ۳ ، ۲+۳ برابر ۵ ، ۳+۵ برابر ۸ و به همین صورت تا بینهایت . 


نسبت طلایی 

پس از چندین عدد اولیه در توالی، ضریب هر عدد به عدد بالاتر تقریبا ۰.۶۱۸ به ۱  و به عدد بعدی پایین تر تقریبا ۱.۶۱۸ به ۱ . هر چه توالی طولانی تر باشد، این ضریب به عدد فی (ϕ) نزدیک تر می شود، که عدد غیرمنطقی .618034.... است . بین اعداد جایگزین در توالی، ضریب تقریبا ۰.۳۸۲  است که معکوس آن ۲.۶۱۸  است . برای جدول ضرایب در همه اعداد فیبوناچی از ۱ تا ۱۴۴ به شکل ۳-۲ نگاه کنید . 

فی تنها عددی است که وقتی به ۱ اضافه می شود معکوس آن را نشان می دهد : 1 + .618 = 1 ÷ .618. این سازگاری جمع و تقسیم ، توالی فرمولهای زیر را بدست می دهد : 

.6182 = 1 - .618,

.6183 = .618 - .6182,

.6184 = .6182 - .6183,

.6185 = .6183 - .6184, etc.

یا به صورت جایگزین : 

1.6182 = 1 + 1.618,

1.6183 = 1.618 + 1.6182,

1.6184 = 1.6182 + 1.6183,

1.61855 = 1.6183 + 1.6184, etc.

برخی عبارات از ویژگیهای داخلی این چهار ضریب اصلی را می توان به صورت زیر فهرست کرد : 

1.618 - .618 = 1,

1.618 x .618 = 1,

1 - .618 = .382,

.618 x .618 = .382,

2.618 - 1.618 = 1,

2.618 x .382 = 1,

2.618 x .618 = 1.618,

1.618 x 1.618 = 2.618.


در کنار ۱ و ۲ ، هر عدد فیبوناچی که در ۴ ضرب شود، زمانی که به یکی از اعداد انتخابی فیبوناچی اضافه شود ، عدد فیبوناچی دیگر را بوجود می آورد ، یعنی :


تصویر ۳-۲


3 x 4 = 12; + 1 = 13,

5 x 4 = 20; + 1 = 21,

8 x 4 = 32; + 2 = 34,

13 x 4 = 52; + 3 = 55,

21 x 4 = 84; + 5 = 89, and so on.


همانطور که توالی جدید رشد می کند، توالی سوم در این اعداد قرار دارد که به ضرب 4x اضافه می شود . این رابطه ممکن است چون ضریب بین دومین عدد جایگزین فینوناچی ۴.۲۳۶ است، که در آن ۰.۲۳۶ معکوس آن و تفاضل آن از ۴ است . ضرایب دیگر ، توالیهای متفاوت ایجاد می کند، که همه مبتنی بر ضرایب فیبوناچی هستند . 

ما فهرست جزئی از پدیده جمع مربوط به توالی فیبوناچی را به صورت زیر ارائه می کنیم : 


۱- هیچ دو عدد متوالی فیبوناچی دارای عامل مشترک نیستند


۲- اگر عبارت توالی فیبوناچی بدین صورت باشد 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 و ... ، ما می بینیم که بجز برای عدد چهارم فیبوناچی (3) ، هر زمان که  به عدد اول فیبوناچی ( 1 تنها بر خودش تقسیم می شود ) می رسیم، عدد توالی نیز اول است . به همین صورت، بجز برای چهارمین عدد توالی (3) ، همه اعداد ترکیبی توالی (مواردی که بر دو عدد کناری خود و 1 قابل تقسیم هستند ) نشان دهنده ترکیبی از اعداد فیبوناچی هستند که در جدول زیر آمده است . عکس این پدیده همیشه درست نیست



۳- مجموع هر ده عدد در توالی بر ۱۱ قابل تقسیم است . 


۴- مجموع اعداد فیبوناچی در توالی تا هر نقطه ، بعلاوه ۱ ، برابر با عدد دو مرحله بالاتر از آخرین عدد اضافه شده است . 


۵- مجموع مربعات ار توالی پی در پی از اعداد فیبوناچی که از ۱ شروع شده باشد، همیشه برابر با آخرین عدد توالی انتخاب شده ضربدر عدد بالاتری بعدی . 


۶- مربع یک عدد فیبوناچی منهای مربع عدد دوم زیر آن در توالی همیشه عدد فیبوناچی است .


۷- مربع هر عدد فیبوناچی برابر با عدد قبل از آن در توالی ضربدر عدد بعدی آن در توالی بعلاوه یا منهای 1 است . مثبت منفی 1 در توالی جایگزین می شود . 


۸- مربع یک عدد فیبوناچی Fn   بعلاوه مربع عدد فیبوناچی بعدی Fn+1    برابر با عدد فیبوناچی F2n+1  است . فرمول Fn2 + Fn+12 = F2n+1   برای مثلث هاق قائم الزاویه صحیح می باشد ، که برای آنها مربعات دو ضلع کوتاه تر برابر با مربع ضلع طولانی تر است . در سمت راست مثالی با F5, F6   و √F11 دارد . 


۹- یک فرمول نشان دهنده رابطه بین دو عدد غیر منطقی همگانی در ریاضیات است ، pi  و phi مانند آنچه در زیر آمده است : Fn ≈ 100 x π2 x ϕ(15-n) که در آن ϕ = .618...،  n نشان دهنده بخش عددی عبارت در توالی و Fn  نشان دهنده خود عبارت است . در این حالت، عدد (۱) تنها یک بار نشان داده شده است، به گونه ای که F1 ≈ 1, F2≈ 2, F3 ≈ 3, F4 ≈ 5 و به همین صورت . برای مثال ، فرض کنید n = 7 . آنگاه : 

F7 ≈ 100 x 3.14162 x .6180339(15-7)
  ≈ 986.97 x .61803398
  ≈ 986.97 x .02129 ≈ 21.01 ≈ 21

۱۰- یک پدیده جالب ، که تاجایی که ما می دانیم قبلا اشاره نشده است ، اینکه نسبت بین اعداد فیبوناچی به اعدادی منتهی می شود که تقریبا یک هزارم برابر اعداد فیبوناچی دیگر است، تفاوت به میزان یک هزارم سومین عدد فیبوناچی است ( جدول ضرایب را در شکل 2-3 ببنیید ) . بنابراین ، به صورت صعودی ، اعداد مشابه فیبوناچی با 1 مرتبط هستند، یا  .987 بعلاوه 013، اعداد مجاور فیبوناچی دارای ارتباط 1.618 هستند، و یا 1.597بعلاوه 021 ، اعداد جایگزین فیبوناچی با 2.618 یا 2.584بعلاوه 034 مرتبط هستند و به همین صورت ادامه دارد . در حالت نزولی ، اعداد مجاور فیبوناچی دارای رابطه .618 یا 0.610 بعلاوه 0.008 هستند، اعداد جایگزین دارای رابطه 0.382 یا 0.377 بعلاوه 0.005 هستند، جایگزین های دوم دارای رابطه 0.236 یا 0.233 بعلاوه 0.003  هستند، جایگزین های سوم دارای رابطه 0.146 یا 0.144 بعلاوه 0.002 بوده، و جایگزین چهارم دارای رابطه 0.090 یا 0.089 بعلاوه 0.001 ، جایگزین پنجم دارای رابطه 0.056 یا 0.055بعلاوه 0.001 ، ششم تا دوازدهم دارای ضرایبی هستند که خود یک هزارم اعداد فیبوناچی بوده و با 0.04  شروع می شوند . 


جالب اینکه در این تحلیل، ضریب بین سیزدهمین اعداد جایگزین فیبوناچی با سریهایی شروع می شود که به 0.001 ختم می شود، یک هزارم جایی که شروع می شود . در همه شمارشها، آنگونه که طرفداران ریاضی آن را توصیف می کنند ، ما یقینا پدیده تشابه بازتولید را در سری های بی انتها داریم، که نشان دهنده ویژگیهای محدود بودن همه روابط ریاضی می باشد . 

در نهایت ، 

در نهایت، توجه می کنیم که (√5 + 1)/2 = 1.618 و (√5 - 1)/2 = .618، که در آن √5 = 2.236. 5 مهمترین اعداد در اصل موج   هستند، و ریشه مربع آن یک کلید ریاضی به فی است . 

1.618 (یا 0.618) به عنوان ضریب طلایی یا ابزار طلایی شناخته می شود . نسبتهای آن برای گوش و چشم خوشایند است . این نسبتها در بیولوژی ، موزیک، هنر و معماری ظاهر می شوند . ویلیام هافر، که برای مجله Smithsonian در دسامبر 1975 نوشت، می گوید : 

نسبت .618034 به 1 ، مبنای ریاضی برای شکل گیری کارتهای بازی و پارتنون ، گلهای آفتابگردان و پوسته حلزون، گلدانهای یونانی و کهکشانهای مارپیچ فضای خارج است . یونانی ها بیشتر هنر و معماری خود را بر این نسبت بنا نهاده اند . آنها به این نسبت ، ابزار طلایی می گویند . 

خرگوشهای abracadabric فیبوناچی در مکانهای دور از انتظار واقع می شوند . اعداد بدون شک بخشی از هماهنگی طبیعی عرفانی است که حس خوبی دارند، خوب به نظر رسیده و حتی خوب شنیده می شوند . برای مثال، موزیک مبتنی بر نت های هشت گانه هستند . در پیانو این نت ها به وسیله 8 کلید سفید ، در کنار 5 کلید سیاه نشان داده می شود، کلا 13 کلید. اتفاقی نیست که هارمونی موسیقی که به نظر بیشترین رضایت را در گوش ایجاد می کند، ششمین نت باشد . نت E در ضریب 0.62500  نسبت به نوت C لرزش دارد . صرفا 0.006966 دورتر از ابزار طلایی ، نسبتهای مجموعه ششم اصلی از لرزشهای خوب در حلزون گوش – ارگانی که دقیقا بر اساس فضای لگاریتمی شکل گرفته است . وقوع متوالی اعداد فیبوناچی و مارپیچ طلایی در طبیعت به دقت بیان می کند که چرا نسبت 0.618034 به 1 در هنر بسیار دل انگیز است . میتوانیم تصویر زندگی را در هنری ببینیم که مبتنی بر ابزار طلایی است . 

طبیعت از ضریب طلایی در بسیاری از بلوکهای ساختمانی محبوب و در بسیاری از الگوهای پیشرفته خود استفاده کرده است، در شکلهایی مانند مغز به صورت لوله های ریز در مغز و مولکولهای DNA ( شکل 9-3 ) تا نمونه های بزرگ مانند فاصله ها و دوره های سیارات . 

این موضوع در پدیده های متنوعی مانند نظم شبه کریستالی هم وجود دارد، که منعکس کننده شعاعای نور روی شیشه است، مغز و سیستم عصبی، نظم موزیک ، و ساختارهای سیارات و حیوانات .علم به سرعت نشان می دهد که در واقع اصل نسبت پایه در طبیعت وجود دارد . به هر حال ، شما این کتاب را با دو مورد از پنج ضمیمه دارد، که داری سه بخش الحاقی است، پنج رقم در انتها و سه بخش متصل به هر رقم ، یک  تصاعد 5-3-5-3 که احتمالا نشان دهنده اصل موج است .